Chuyên đề tứ giác
Nhóm thực hiện:
Phạm Thị Duyên
Nguyễn Minh Chuyên
Hoàng Thị Duyên
Phùng Thị Hường
Dương Thị Lươi
Trần Văn Cường
Hệ thống lý thuyết
1. Tứ giác
2. Hình thang, hình thang cân, hình thang vuông
3. Hình bình hành
4. Hình chữ nhật
5. Hình thoi
6. Hình vuông
Tứ giác
1.1. Định nghĩa
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
1.2. Tổng các góc trong một tứ giác
Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng
Vẽ tứ giác ABCD.
Dựa vào tổng ba góc trong một tam giác ta tính được
2.1. Hình thang
Định nghĩa:
Hình thang là hình có hai cạnh đối song song
Tứ giác ABCD có : AB // CD nên nó là hình thang
2. Hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.
b) Nhận xét:
- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
2.2. Hình thang vuông
Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
Trên hình ta thấy hình thang ABCD có AB // CD, và
nên khi đó ta gọi ABCD là hình thang vuông
2.3. Hình thang cân
a) Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
(đáy AB, CD)
Tứ giác ABCD là hình thang cân
b) Dấu hiêụ nhận biết
Định lí 3: Trong hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Từ đó ta có dấu hiệu nhận biết hình thang cân như sau:
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
3. Hình bình hành
3.1. Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
- Các góc đối bằng nhau.
Các cạnh đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tứ giác ABCD là hình bình hành
3.2. Tính chất
Định lí: Trong hình bình hành thì:
3.3. Dấu hiệu nhận biết
1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
3. Tứ giác có các cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
4. Tứ giác có hai góc đối song song là hình bình hành
5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
4. Hình chữ nhật
4.1. Định nghĩa:
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Nhìn hình ta có:
Do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật
4.2. Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
4.3. Dấu hiệu nhận biết:
1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
2. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
5. Hình thoi
5.1. Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
ABCD là hình thoi
AB = BC = CD = DA
Hình thoi có các tính chất của hình bình hành.
Định lí: Trong hình thoi có:
Hai đường chéo vuông góc với nhau
Hai đường chéo là đường phân giác của các góc của hình bình hành
5.3. Dấu hiệu nhận biết
1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
4. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
5.2. Tính chất:
6. Hình vuông
6.1. Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Cho tứ giác ABCD
ABCD là hình vuông
6.2. Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
6.3. Dấu hiệu nhận biết:
1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Hệ thống bài tập
1. Toán chứng minh và tính toán
2. Các bài toán cực trị trong hình học
a) Chứng minh tứ giác là hình thang:
Để chứng minh một tứ giác là hình thang ta chứng minh nó có hai cạnh đối song song.
b) Chứng minh một hình thang là hình thang vuông
Để chứng minh một hình thang là hình thang vuông ta chứng minh nó có một góc bằng 900.
c) Chứng minh một hình thang là hình thang cân
Để chứng minh một hình thang là hình thang cân ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:
(1) Chứng minh nó có hai góc kề đáy bằng nhau.
(2) chứng minh nó có hai đường chéo bằng nhau.
Dạng 1. Toán chứng minh và tính toán
I. tính toán, Chứng minh hình thang
1.Phương pháp:
1.1. Chứng minh hình thang
1.2. Tính toán với hình thang
Dựa vào định nghĩa hình thang và các tính chất của hình thang để tính toán theo yêu cầu bài toán
2. Các ví dụ:
Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Tóm tắt
VD 1( Bài 9 trang 71 SGK _Toán 8 tập 1):
Tứ giác ABCD, BC = CD
BD là tia phân giác góc D
ABCD là hình thang
?BCD có BC = CD ??BCD là tam giác cân
Giải
?
=
(1)
Theo giả thiết BD là phân giác góc
? góc CDB = góc CBD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: góc CBD = góc BDA
? BC // AD ? tứ giác ABCD là hình thang. (ĐPCM)
GT
KL




VD2 (Bài 15 trang 75 SGK_ toán 8 tập 1)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.
a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng
Tóm tắt:
GT
KL
BDEC là hình thang cân.
b. Tính các góc của hình thang cân đó
?ABC, AB = AC;
Giải
a) Theo giả thiết ta có: AE = AD
?
ADE cân tại A
gãc AED = gãc ADE. Mµ trong  ADE cã
= 1800.
Suy ra:
(1)
Theo giả thiết: ?ABC cân tại A

mµ trong ABC cã
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(Có cặp góc đồng vị bằng nhau). Suy ra: tứ giác BDEC là hình thang.
Mặt khác: hình thang BDEC có
(v× ABC c©n t¹i A )
Hình thang BDEC là hình thang cân (đPCM).
b) Trong ?ABC có:
mà
hay
Vì CE // BD nên
mà
3. Các bài tập:
Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 16
(trang 75), bài 17 (Trang 75), bài 18 ( Trang 75), bài 19 (trang 75).
Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 11
(trang 62), bài 14 (trang 62), bài 19 (trang 62).
- Để tính toán trong hình bình hành ta phải nắm vững định nghĩa hình
bình hành, tính chất của hình bình hành và tính chất của tứ giác.
- Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta có thể sử dụng một
trong các cách sau:
(1) Chứng minh nó có các cạnh đối song song.
(2) Chứng minh nó có các cạnh đối bằng nhau.
(3) Chứng minh nó có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
(4) Chứng minh nó có các góc đối bằng nhau.
(5) Chứng minh nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường.
II. Tính toán, chứng minh hình bình hành và các dạng đặc biệt của nó
1. Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình bình hành:
1.1 Phương pháp:
1.2. Ví Dụ:
Ví Dụ 1 ( bài 48 trang93_SGK_Toán 8_Tập1):
Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Tóm tắt:
GT
KL
Tứ giác ABCD, E AB, AE = EB
Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Trong ?ABD có: AE=EB; DH=HA
Suy ra: HE là đường trung bình của ?ABD
? HE = BD/2 và HE//BD (1)
Trong ?BCD có: BF = FC; CG = GD
Suy ra: FG là đường trung bình của ?BCD
? FG = BD/2 và FG //BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HE = FG và HE//FG
? Tứ giác EFGH là hình bình hành ( Theo cách (3))
Giải:
Trong ?ABD có: AE=EB; DH=HA
Ví Dụ 2 ( Bài 79 trang 68 _ SBT_Toán 8_ Tập 1)
Tính các góc của hình bình hành ABCD(hình vẽ),
biết:
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
Suy ra:
Vậy trong hình bình hành ABCD có:
b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
mà theo giải thiết có
Suy ra
1.3. Các bài tập:
Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 45 (trang 92), bài 47
(trang 93).
- Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 75 (trang 68), bài 76 ( trang 68), bài 83 (trang 69), bài 84 (trang 69).
Vậy trong hình bình hành ABCD có:
Ví Dụ 1 ( Bài 115 trang 72_SBT_Toán 8_Tập 1)
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
2. Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật
2.1. Phương pháp:
- Để tính toán trong hình chữ nhật ta phải nắm vững định nghĩa hình chữ nhật, các tính chất của hình chữ nhật, các định lý liên quan đến tính toán.
- Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Chứng minh nó có ba góc vuông.
Chứng minh nó là hình thang cân và có 1 góc vuông.
Chứng minh nó là hình bình hành và có 1 góc vuông.
Chứng minh nó là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
2.2. Ví Dụ:
*) Tóm tắt:
GT ?ABC cân tại ABM, CN là đường trung tuyến
BM giao CN tại G
D đối xứng với G qua M, E đối xứng với G qua N
KL Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
Giải:
D đối xứng với G qua M nên GD = 2GM.
G là trọng tâm của ?ABC ? BG = 2 GM
Suy ra BG = GD
Chứng minh tương tự ta có: CG = GE
Tứ giác BEDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành (1)
Mặt khác�: trung tuyến CN và BM là hai trung tuyến xuất phát từ hai đáy bằng nhau của tam giác cân nên CN = NM ? CG = GB ? EC = BD (2)
Từ (1) và (2) Suy ra�:
Tứ giác BEDC là hình vuông ( Theo cách (4)) ĐPCM.
AD =? , AB = ?( làm tròn đến hàng đơn vị)
Ví Dụ 2 ( Bài 116 trang 72_SBT_Toán 8_Tập 1)
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HD = 2 cm, HB = 6 cm. Tính các độ dài AD, AB ( làm tròn đến hàng đơn vị)
Tóm tắt:
GT
KL
ABCD là hình chữ nhật
Giải
Kẻ đường chéo AC cắt BD tại O.
Ta có: AC = BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 (cm)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên:
OA = OB = OC = OD = AC/2 = 4 (cm)
Ta có OH = OD - HD = 4 - 2 = 2 (cm)
Vì AH BD và OH = DH = 2 cm
? Tam giác AOD cân tại A ? OA = AD = 4(cm)
áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABD ta có:BD2 = AB2 + AD2
? AB2 = BD2 - AD2 = 82 - 42 = 48
Vậy AD = 4 cm,
- Để tính toán các yếu tố trong hình thoi ta phải nắm vững định nghĩa hình thoi, các tính chất của hình, ..
- Để chứng minh một tứ giác là hình thoi ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
(1) Chứng minh nó có 4 cạnh bằng nhau.
(2) Chứng minh nó là hình bình hành và có hai cạnh kề bằng nhau.
(3) Chứng minh nó là hình bình hành và có hai đường chéo vuông góc với nhau.
(4) Chứng minh nó là hình bình hành và có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
2.3. Các bài tập�:
- Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 61 (trang 99), bài 64 (trang 100), bài 65 (trang 100), bài 76 (trang 106).
- Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 114 (trang 72).
3. Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình thoi
3.1. Phương pháp:

3.2. Ví Dụ:
Ví Dụ 1 ( bài 75 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.
EFGH là hình thoi
ABCD là hình chữ nhật
GT
KL
Theo giả thiết có: AE = EB; DH = HA
Suy ra: EH là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra: EH = BD/2 vàEH//BD (1)
Giải
Chứng minh tương tự có: FG = BD/2 và FG//BD (2)
Từ (1), (2) Suy ra: EH = FG và EH // FG (*)
Theo giả thiết có: AE = EB
BF = FC


Suy ra: EF là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra: EF = AC/2 và EF //AC (3)
Chứng minh tương tự có: HG = AC/2 và HG // AC (4)
Từ (3) và (4) Suy ra: EF = HG và EF//HG (**)
Từ (*) và (**) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( theo cách (1) hoặc (2) hoặc (3) chứng minh hình bình hành).
Ví Dụ 2 ( bài 74 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)
Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8 cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị sau:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên có: AC = BD (5)
Từ (1), (3), (5) suy ra: EH = EF mà EH và EF là hai cạnh kề của hình bình hành EFGH nên theo cách chứng minh (2) suy ra : EFGH là hình thoi
Giải
áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AOD có:
AD2 = AO2 + OD2 = 52 +42 = 41
Vậy đáp án (B) là đáp án đúng.
Vì đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên OA = AC / 2 = 10 / 2 = 5cm
OD = BD /2 = 8/ 2 = 4cm
3.3. Các bài tập
- Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 77
(trang 106).
Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 135 (trang 74), bài 136 (trang 74), 137 (trang 74), bài 138( trang 74), bài 140 (trang 74), bài 142 (trang 75).
Để chứng minh một tứ giác là hình vuông ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
(1) Chứng minh nó là hình chữ nhật và có hai cạnh kề bằng nhau.
(2) Chứng minh nó là hình chữ nhật và có hai đường chéo vuông góc với nhau.
(3) Chứng minh nó là hình chữ nhật và có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
(4) Chứng minh nó là hình thoi và có một góc vuông.
(5) Chứng minh nó là hình thoi và có hai đường chéo bằng nhau.
4. Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình vuông
4.1. Phương pháp
Tóm tắt
4.2. Ví Dụ:
Ví Dụ 1 ( bài 144 trang 75_SBT_Toán 8_Tập1)
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.
GT
KL
?ABC
AD là phân giác trong.
Tứ giác AMDN là hình vuông
Giải
Suy ra: AMDN là hình chữ nhật ( theo cách (1) chứng minh hình chữ nhật)
Hình chữ nhật AMDN có đường chéo AD đồng thời là đường phân giác. Suy ra AMDN là hình vuông ( theo cách (3)). ĐPCM.
Tứ giác AMDN có:
Ví Dụ 2 ( bài 79 trang 108_SGK_Toán 8_Tập1
Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông đó bằng:
Giải
Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 82
(trang 108) , bài 84 ( trang 109), bài 85 (trang 109),
bài 86 (trang 109).
Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 145 (trang 75), bài 146 (trang 75), 147 (trang 75), bài 148
( trang 75), bài 150 (trang 75), bài 152 (trang 76).
áp đụng định lí Pitago cho tam giác vuông ta có: đường chéo bình phương bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông, áp dụng vào đây có 32 + 32 = 18,
4.3. Các bài tập
vậy đường chéo hình vuông đã cho là
III. NHữNG BàI TOáN TíNH TOáN, CHứNG MINH HỗN HợP CáC DạNG ĐặC BIệT CủA Tứ GIáC
Dạng toán tính toán:
Cách làm:
+ áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng , tổng các góc trong một tứ giác bằng .
+ Dựa vào định lí pitago trong tam giác vuông để tính các cạnh, các góc
Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, AB = 8cm, BC = 7cm, AD = 4cm. Tính độ dài CD.
GT
KL
Cho ABCD, AB = 8cm
BC = 7cm, AD = 4cm.
CD = ?
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có:
Vậy
Suy ra
hay
Vậy CD = 1.
Bài2: Cho ?ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I.
a. Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?
b. Tứ giác ABMK là hình gì? Vì sao?
Tóm tắt
GT
?ABC cân tại A
Trung tuyến AM, IA=IC
K đối xứng với M qua I
KL
a)Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?
b)Tứ giác ABMK là hình gì? Vì sao?
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác AMCK là hình chữ nhật.
b) Theo câu a) ta có AK // MC suy ra AK // BM
AK = MC suy ra AK = BM (M là trung tuyến BC).
Suy ra: Tứ giác ABMK là hình bình hành.
Tứ giác AMCK là hình bình hành (dấu hiệu 5) (1).
Mặt khác AM là trung tuyến của ?ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao hay
(2).
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Vẽ tia Cx là tia phân giác ngoài tại đỉnh C. Lấy M trên Cx. Vẽ ME vuông góc DC, MF vuông góc BC.
Theo giả thiết ta có: IA = IC;
KI = IM
Giải
Tứ giác CEMF là hình vuông.
b. Tứ giác AHMG là hình thoi.
GT
ABCD là hình vuông
Cx là tia phân giác ngoài tại C
H thuộc tia đối của BC, DG = BH = ME.
KL
CEMF là hình vuông
AHMG là hình thoi
Giải
a) Theo giả thiết ta có:
Trên tia DC lấy điểm G, trên tia đối của BC lấy điểm H sao cho DG = BH = ME. Chứng minh rằng:
Suy ra tứ giác CEMF là hình chữ nhật (dấu hiệu 1) (1).
Mặt khác CM là phân giác của góc FCB
Vậy CEMF là hình vuông (ĐPCM)
b) Theo giả thiết và chứng minh trên ta có:
DG=CE=BH=MF=ME
AB=AD=GE=FH
Xét các tam giác vuông ABH, ADG, GEM, HFM có:
AB = AD = GE = HF
BH = DG = EM = FM
Bài tập 1: trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 88
(trang 111) , bài 89 ( trang 111).
Bài tập 2: trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 159
(trang 77), bài 160 (trang 77), 161 (trang 77), bài 162
( trang 77), bài 163 (trang 77).
Các bài tập áp dụng:
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông
góc, AB = 8cm, BC = 7cm, AD = 4cm. Tính độ dài CD
Suy ra các tam giác vuông
ABH = ADG = GEM = HFM (c.g.c).
Suy ra: AH = AG = GM = HM
Suy ra: Tứ giác AHMG là hình thoi (ĐPCM)
Bài 5. [SGK 8 - T67] Ta gọi tứ giác ABCD trên hình 1 có AB = AD, CB = CD.
a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD
b) Tính góc B và D biết rằng,
(Hình vẽ 1)
Bài 4: Tứ giác ABCD có . Các tia phân giác của góc C và D cắt nhau tại I và . Tính các góc A và B
Dạng 2. Các bài toán cực trị trong hình học

Các bài toán cực trị trong hình học có dạng chung như sau: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, .) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.
Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách:
- Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình, rồi chứng minh rằng mọi hình khác đều có giá trị (của đại lượng phải tìm cực trị) lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra.
Cách 2: Thay điều kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) bằng các điều kiện tương đương, cuuôí cùng dẫn tới một điều kiện mà ta xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị.
Lời giải trình bày theo cách 2 tự nhiên hơn vì nó mang tính chất tìm kiếm.
Các bất đẳng thức thường dùng để giải bài toán cực trị
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Quan hệ này thường được sử dụng dưới dạng:
Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có các cạnh vuông AH và
xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi B trùng với H.
cạnh huyền AB thì
Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến các điểm thuộc một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.
Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất.
Ví Dụ 1:
Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất.
Giải
Gọi EFGH là hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD. Tâm của hai hình vuông này phải trùng nhau tại điểm O.
Ta có
Như vậy S nhỏ nhất khi và chỉ khi OE nhỏ nhất. Gọi K là trung điểm của AB, ta có
(hằng số);
OE = OK
E trùng K.
Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E, F, G, H là trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD.
Ví Dụ 2:
Trong các hình bình hành có diện tích và một đường chéo không đổi, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
Giải
Xét các hình bình hành ABCD có BD cố định. Diện tích hình bình hành không đổi nên diện tích tam giác ABD không đổi, do đó A chuyển động trên đường thẳng d// BD.
Cần xác định vị trí của A trên d để BA + AD nhỏ nhất. Ta đổi phía của BA đối với d bằng cách lấy B` đối xứng với B qua d. Khi đó B` cố định,
BA + AD = B`A + AD
B`D (hằng số).
BA + AD nhỏ nhất
B`A + AD nhỏ nhất
A là giao điểm của d và đoạn B`D.
Khi đó AB = AD.
2. Các bất đẳng thức đại số
Các bất đẳng thức thường được sử dụng là:
- Bất đẳng thức về lũy thừa bậc chẵn:
- Bất đẳng thức Cô-si:
hay
với x, y không âm,
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
(*)
Chú ý rằng từ bất đẳng thức (*), ta còn suy ra với hai số không âm x, y:
- Nếu x + y là hằng số thì
- Nếu xy là hằng số thì
Để sử dụng các bất đẳng thức đại số, ta thường đặt một độ dài thay đổi bằng x, biểu thị đại lượng cần tìm cực trị bằng một biểu thức của x, rồi tìm điều kiện để biểu thức có cực trị.
Ví Dụ 3:
Các đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau tại O. Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác, biết SAOB = 4cm2, SCOD = 9cm2.
Tứ giác ABCD,
GT
SAOB = 4cm2, SCOD = 9cm2
Min SABCD = ?
KL
Giải
Ký hiệu như hình vẽ. Ta có:
(1)

Theo bất đẳng thức Cô-si:
Ta có:
* Chú ý: Tổng quát, thay 4 và 9 bởi a và b, ta có
Ví Dụ 4:
Giải ví dụ 1 bằng các cách khác.
Giải
Xét hình vuông EFGH nội tiếp hình vuông ABCD,
ta có AE = BF = CG = DH.
Gọi AB = a, AE = x thì
EB = FC = DG = HA = a - x.
Cách 1. Gọi diện tích hình vuông EFGH là S, ta có:
E là trung điểm của AB.
Lưu ý: Ta khí hiệu minS là giá trị nhỏ nhất của S, maxS là giá trị lớn nhất của S.
Cách 2. SEFGH nhỏ nhất
lớn nhất
lớn nhất
lớn nhất.
Chú ý rằng x và a - x là hai số dương có tổng không đổi (bằng a) nên tích của chúng lớn nhất khi vvà chỉ khi hai số ấy bằng nhau.
Khi đó
E là trung điểm của AB.
Các chú ý khi giải bài toán cực trị

1. Khi giải các bài toán cực trị, nhiều khi ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị của đại lượng này thành điều kiện cực trị của đại lượng khác.
2. Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến bài toán tìm tập hợp điểm: Trong tập hợp các hình có chung một tính chất, khi ta cố định một số yếu tố không đổi của hình, các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đường nhất định, việc theo dõi vị trí của chúng giúp ta tìm được cực trị của bài toán.
3. Khi giải các bài toán cực trị, có khi ta phải tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong từng trường hợp, rồi so sánh các giá trị ấy với nhau để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của cả bài toán.
Bài tập áp dụng

Bài 1. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD,
biết AB = AD = a, BC = CD = b.
Bài 2. Trong các hình chữ nhật có đường chéo bằng d không đổi, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích hình lớn nhất đó.
Bài 3. Trong hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = AH = CF = CG. Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất, nếu:
AB = 40cm, BC = 20cm;
AB = a, BC = b (b < a < 3a).
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bố cạnh của hình chữ nhật sao cho chu vi tứ giác là nhỏ nhất.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là S. Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác EFGH có bốn đỉnh lần lượt thuộc bốn cạnh của AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật và
Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm diện tích lớn nhất của các hình thang có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông.
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có các kích thước là a và b. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật EFGH ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD (mỗi đỉnh của hình chữ nhật ABCD nằm trên một cạnh của hình chữ nhật EFGH).
Bài 8. Cho hình thang ABCD. Tiềm điểm M thuộc miền trong hoặc nằm trên cạnh của hình thang sao cho tổng khoảng cách từ M đến các cạnh của hình thang có giá trị nhỏ nhất.
Bài 9. Cho hình vuông ABCD và một điểm K nằm trong không trùng với tâm hình vuông. Qua K dựng một đường thẳng sao cho nó cắt hình vuông thành hai phần có hiệu các diện tích là lớn nhất.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N.
a) Chứng minh rằng CM.DN = a2 ;
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng
c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
Bài 11. Cho hình thang ABCD. Dụng các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh đáy BC, AD sao cho phần chung của hai tam giác AMD, BNC có diện tích lớn nhất.
Bài 12. Cho hình thang ABCD và một điểm N thuộc cạnh đáy AD. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc cạnh đáy BC sao cho
hai ? AMD, BNC có diện tích lớn nhất.
thì phần chung của
Bài 13. a) Trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?
b) Trong các hình chữ nhật cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
Bài 14. a) Trong các hình thoi cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?
b) Trong các hình thoi cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
Bài 15. Chứng minh rằng:
Trong các tứ giác cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất?
b) Trong các tứ giác cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất?