E

Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều
rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C
và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một
điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E,
C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được
AE = 400 m, EC = 500 m.

500m

400m
A
300m
B

Theo em, người ta tính khoảng cách
giữa C và D như thế nào?

C

D
Hình 4.1

1 . ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

 Tỉ số của hai đoạn thẳng
Cho các đoạn thẳng như Hình 4.2 .
Hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD nếu chọn đoạn
MN làm đơn vị độ dài. Với các độ dài đó hãy tính tỉ số

 Chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài
thì MN = 1 (đvđd).
Khi đó, AB = 2 (đvđd)
CD = 6 (đvđd).

AB 2 1
 
Do đó :
CD 6 3

M
A

N
B
D

C

Hình 4.2

1 . ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

 Tỉ số của hai đoạn thẳng
Cho các đoạn thẳng như Hình 4.2 .
Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn thẳng AB và CD (đơn
vị: cm) rồi dùng kết quả vừa đo để tính tỉ số

 Đo độ dài các đoạn thẳng, ta
được: AB = 3 cm; CD = 9 cm.

AB 3 1
Khi đó :
 
CD 9 3

M
A

N
B
D

C

Hình 4.2

1 . ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

 Tỉ số của hai đoạn thẳng
Cho các đoạn thẳng như Hình 4.2 .
So sánh hai tỉ số tìm được trong hai hoạt động 1 và 2.
M

 Tỉ số tìm được ở Hoạt động 1 và
Hoạt động 2 bằng nhau và đều bằng

A

N
B
D

C

Hình 4.2

 Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo
cùng một đơn vị đo.

1 . ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

 Tỉ số của hai đoạn thẳng

1

Tìm tỉ số của các đoạn thẳng có độ dài như sau:
a) MN = 3 cm và PQ = 9 cm.
b) EF = 25 cm và HK = 10 dm.
a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau:
MN 3 1
PQ 9 3
  ;
 
PQ 9 3
MN 3 1
b) Đổi 10 dm = 100 cm.
Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau:

HK 100 4
EF
25 1



 ;
EF
25 1
HK 100 4

1 . ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

 Đoạn thẳng tỉ lệ .
Cho bốn đoạn thẳng AB, CD, A'B', C'D' (H 4.3)
Ta thấy :
AB 2
A'B' 4 2
 ;
 
CD 3 C ' D ' 6 3

AB A ' B '

Ta có tỉ lệ thức :
CD C ' D '

Hình 4.3

Khi đó, ta nói AB và CD tỉ lệ với A'B' và C'D'.

 Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng
A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức :
CD
AB A ' B ' hay AB


A'B' C 'D'
CD C ' D '

1 . ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

 Đoạn thẳng tỉ lệ .

2

Cho tam giác ABC và một điểm B' nằm trên cạnh AB. Qua điểm B', ta
vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt AC tại C' (H.4.4).
a) và

a) Từ hình vẽ ta thấy :
Do đó :

b) và

c) và

AB ' 4 2 ; AC '  4  2
 
AB 6 3 AC 6 3

AB ' AC '

AB
AC

AB ' 4 2 ; AC '  4  2
b) Từ hình vẽ ta thấy :
 
B ' B 2 1 C 'C 2 1
Do đó :

AB ' AC '

B ' B C 'C

Hình 4.4

1 . ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

 Đoạn thẳng tỉ lệ .

2

Cho tam giác ABC và một điểm B' nằm trên cạnh AB. Qua điểm B', ta
vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt AC tại C' (H.4.4).
a) và

b) và

c) và

B'B 2 1
c) Từ hình vẽ ta thấy :
 
AB 6 3
C 'C 2 1
 
AC 6 3
Do đó :

B ' B C 'C

AB
AC

Hình 4.4

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

 Định lí Thalès trong tam giác.
 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của
tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai
cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
A

GT ABC , B'C' // BC
KL

B'

AB ' AC ' AB ' AC ' B ' B C ' C

;

;

AB
AC B ' B C ' C AB
AC
B

C'

C

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

 Định lí Thalès trong tam giác.

1

Tính độ dài trong Hình 4.5 , biết MN // EF.
D

 Xét tam giác DEF có MN // EF nên theo định lí
Thales , ta có :
DM DN

ME NF
Hay

2 x

4 5

Suy ra

2.5
x
2,5
4

M

2

x

N

5

4
E

Hình 4.5

F

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

 Định lí Thalès trong tam giác.

3

Tìm các độ dài x, y trong Hình 4.6.).
A

a) Áp dụng định lí Thalès vào ∆ABC, ta có:

AM AN

BM CN

Suy ra x 

6.5 4
hay

x

6,5.2
3, 25
4

6.5
M

2

N

x

(đvđd)

2

B

P

Áp dụng định lí Thalès vào ∆PHQ, ta có:

4
5

hay
y 8,5
4.8,5
6, 8 (đvđd)
Suy ra y 
5

C

a) MN // BC

b) Ta có: PQ = PF + QF = 5 + 3,5 = 8,5 (đvđd).

PE PF

PH PQ

4

4
y

Hình 4.6
5
F

E

3.5
H

b)

Q

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

 Định lí Thalès đảo.
Cho ∆ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AB lấy điểm B', trên cạnh AC
lấy điểm C' sao cho AB' = 4 cm, AC' = 6 cm
+ So sánh các tỉ số và
+ Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại C”. Tính độ
dài đoạn thẳng AC”
+ Nhận xét gì về hai điểm C', C” và hai đường thẳng B'C' , BC ?
A

 Ta có :
Do đó :

AB ' 4 2
AC ' 6 2
 
;
 
AB 6 3
AC 9 3
AB ' AC '

AB
AC

a

C"

B'
C'

B

 Đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng
qua a cắt AC tại điểm C'' nên B'C'' // BC.
4 AC "
AB ' AC "


hay
Áp dụng định lí Thalès vào ∆ABC, ta có:
6
9
AB
AC

Hình 4.7

C

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

 Định lí Thalès đảo.
Cho ∆ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AB lấy điểm B', trên cạnh AC
lấy điểm C' sao cho AB' = 4 cm, AC' = 6 cm
+ So sánh các tỉ số và
+ Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại C”. Tính độ
dài đoạn thẳng AC”
+ Nhận xét gì về hai điểm C', C” và hai đường thẳng B'C' , BC ?

Suy ra :

AC " 

4.9
6 (cm)
6

Trên cạnh AC lấy điểm C' sao cho AC' = 6 cm.
Đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng
qua a cắt AC tại điểm C'' nên điểm C'' nằm trên cạnh AC sao
cho AC'' = 6 cm.
Do đó, hai điểm C', C'' trùng nhau.
Vì hai điểm C', C'' trùng nhau mà B'C'' // BC nên B'C' // BC.

A

a

C"

B'
C'

C

B

Hình 4.7

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

 Định lí Thalès đảo.
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác
và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương
ứng với tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh
còn lại của tam giác .
A

GT ABC , ;
KL

B'

B ' C '/ / BC
B

C'

C

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

 Định lí Thales đảo.

2

Quan sát Hình 4.8 . Chứng minh rằng MN // EF .
D

 Trong tam giác DEF, ta có :

2
M

DN 2,5 1
DM 2 1
;


 
NF
5
2
ME 4 2
DM DN 1


Vì
ME NF 2

Vì nên MN // EF (Theo định lí đảo Thales)

2.5
N

5

4
E

Hình 4.8

F

2 . ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

 Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con
sông nên AC // BD, áp dụng định lí Thalès,
ta có: AE CE
400 500

hay

300 CD
AB CD
300.500
375 (m)
Suy ra CD 
400

Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

4.1

Tìm độ dài trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ nhất).
P

6

 Hình 4.9a :

H

Vì HK // QE nên áp dụng định lí Thalès, ta có:

PH PK

QH KE
Suy ra

hay :

8
K

x

4

6 8

4 x

Q

E

a) HK // QE
A

y

8.4
x
5,3 (đvđd)
6

M

8

11

N

6.5
B

b)

Hình 4.9

C

4.1

Tìm độ dài trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ nhất).
P

 Hình 4.9b : Vì mà và là hai góc đồng vị nên MN //
BC.

6
H

Ta có AB = AM + BM = y + 6,5.

K

x

4

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

y
8
AM AN hay :


y  6,5 11
AB AC
Suy ra 11y 8( y  6,5)
11y  8y 52
3y 52
52
17,3 (đvđd)
Suy ra x 
3

8

Q

E

a) HK // QE
A

y
M

8

11

N

6.5
B

b)
Hình 4.9

C

4.2

Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và
giải thích tại sao chúng song song với nhau.
M

 Hình 4.10a :

MF
3
2
EM 2


Ta có :
 ;
PF 4,5 3
EN 3

E

3
F

3

4.5

N

a)

EM MF
Suy ra

EN PF
Nên theo định lí Thales
đảo ta suy ra EF // NP

2

P

H

15

14

M

F

10

12
K

18

E

b)

Hình 4.10

12

Q

4.2

Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và
giải thích tại sao chúng song song với nhau.
M

 Hình 4.10b :

E

HM 15 3
HF 14 7
;
 
Ta có :
 
MQ 10 2
KF 12 6

Vì

MQ 10 2
 
MH 15 3

EQ 12 2
;
 
EK 18 3

nên theo định lí Thales đảo ta
suy ra ME // HK

3
F

3

4.5

N

a)

Vì nên MF không song song KQ
Ta có :

2

P

H

15

14

M

F

10

12
K

18

E

b)

Hình 4.10

12

Q

4.3

Cho ∆ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với
AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.

Chứng minh rằng :
A

 Áp dụng định lí Thalès, ta có:
AE CD

Vì DE // AC nên :
AB BC
AF BD

Vì DF // AC nên :
AC BC

AE AF CD BD BC




1
Khi đó :
AB AC BC BC BC
Vậy :

AE AF

1
AB AC

E

B

F

D

C

4.4

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song
song với AB, d cắt BC tại điểm M.
Chứng minh rằng : BM 1 BC
3

A

 Lấy D là trung điểm của cạnh BC. Khi đó,
AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
điểm G nằm trên cạnh AD

AG 2
2
Ta có :
 hay AG  AD
AD 3
3

G
B

M

AG BM 2


Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra :
AD BD 3
BM BM
2
1
Ta có BD = CD nên



BC 2 BD 2.3 3
1
Do đó : BM  BC (đpcm)
3

D

C

4.5

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An
chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm
C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.11).
Sau đó bác An đo được AF = 40 m, FC = 20 m, EC = 30 m. Hỏi
khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

 Theo đề bài, ba điểm C, E, B thẳng hàng,
ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF,
Ap dụng định lí Thalès, ta có:
EC CF hay : 30  20

BE 40
BE AF

30.40
Suy ra BE 
60 (m)
20
Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng 60m.

Hình 4.11