318

Ngày soạn: 29/12/2025
Ngày giảng: 05/01/2026
Điều chỉnh:..........................................
TIẾT 70 – Đ42. LUYỆN TẬP CHUNG
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Luyện tập kĩ năng biến đổi và rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và bậc
ba.
- Luyện tập giải quyết một số tình huống thực tiễn cần sử dụng căn bậc hai và
căn bậc ba.
2. Năng lực
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng: tư duy và lập luận toán học, giao tiếp toán học; mô hình hóa
toán học; giải quyết vấn đề toán học.
- Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, phân tích, lập luận
để giải thích được các tính chất của căn bậc hai và căn bậc ba.
- Mô hình hóa toán học: mô tả các dữ kiện bài toán thực tế, giải quyết bài
toán gắn với căn bạc hai và căn bậc ba, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.
- Giải quyết vấn đề toán học: sử dụng các tính chất của căn thức bậc hai, căn
bậc ba để giải các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức.
- Giao tiếp toán học: đọc, hiểu thông tin toán học.
- Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng máy tính cầm tay.
3. Phẩm chất
- Tích cực thực hiện nhiệm vụ khám phá, thực hành, vận dụng.
- Có tinh thần trách nhiệm trong việc thực hiện nhiệm vụ được giao.
- Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình và
nhóm bạn.
- Tự tin trong việc tính toán; giải quyết bài tập chính xác.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1 - GV: SGK, SGV, Tài liệu giảng dạy, giáo án PPT, PBT (ghi đề bài cho các
hoạt động trên lớp), các hình ảnh liên quan đến nội dung bài học,...
2 - HS:
- SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút
viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc bài toán mở đầu và thực hiện bài toán dưới sự dẫn dắt của
GV (HS chưa cần giải bài toán ngay).

319

c) Sản phẩm: HS nắm được các thông tin trong bài toán và dự đoán câu trả lời
cho câu hỏi mở đầu theo ý kiến cá nhân.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV cho HS thực hiện Phiếu học tập số 1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Câu 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Hãy điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào
cuối mỗi khẳng định.
A. Nếu A là một số và B là một số không âm thì √ A 2 . B=|A|√ B
B. Nếu A là một số âm và B là một số không âm thì A √ B=√ A 2 . B
C. Với các biểu thức A , B và B>0 ta có

A A √B
=
√B B

C ( √ A−B )
C
=
A−B
√ A+ B
3
Câu 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức √ 81 a (−b )2 với a ≥ 0 ta được
A. −9 ab √a
B. 9 ab √ a
C. 9 a|b|√ a
D. −9 a|b|√ a
2
Câu 3: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức
ta được:
√5−√ 3
A. 2 ( √ 5+ √3 )
5+ 3
B. √ √
2
C. √ 5+√ 3
D. √ 5− √ 3
Câu 4: Giá trị của biểu thức √3 125− √3 −8 bằng:
A. √3 3
B. 7
C. √3 117
D. √3 133

D. Với các biểu thức A , B , C mà A ≥ 0 , A ≠ B2 ta có

Câu 5: Ghép mỗi bất phương trình ở bên trái với một khẳng định ở bên phải
cho đúng
a) Căn bậc ba của −8 là
1) ± 2
b) Căn bậc hai của 4 là
2) 6
3
2
3
3) 3
c) Rút gọn biểu thức 5−x+ √1+3 x+ 3 x + x
3
4) −2
d) Tính √ ( √ 729 ) ta được
Câu 6: Điền dấu ¿ ,<,=¿ thích hợp vào ô trống
A. 4 ☐ √3 65
B. 5 √3 6 ☐ 6 √3 5
C. √3 6 . √3 −36 ☐ −7

√

D. 3

8
☐
27

√

Gợi ý đáp án

4
9

320

Câu 1:
A. Đ
B. S
C. Đ
D. S
Câu 2: C
Câu 3: C
Câu 4: B
Câu 5:
a) – 4)
b) – 1)
c) – 2)
d) – 3)
Câu 6:
A. <
B. <
C. >
D. =
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm
và thực hiện yêu cầu theo dẫn dắt của GV.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi đại diện một số thành viên nhóm HS trả
lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV ghi nhận câu trả lời của HS, trên cơ sở đó
dẫn dắt HS vào tìm hiểu bài học mới: “Để ôn tập và củng cố kiến thức về rút
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và căn bậc ba ta cùng tìm hiểu bài học ngày
hôm nay:”.
⇒ Luyện tập chung
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
ÔN TẬP LÍ THUYẾT. CHỮA VÍ DỤ VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP
Hoạt động 1: Ôn tập lí thuyết, chữa ví dụ và một số bài tập
a) Mục tiêu:
- Luyện tập kĩ năng vận dụng các tính chất của căn bậc hai để tính giá trị của
biểu thức hoặc rút gọn biểu thức.
b) Nội dung:
- HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời
câu hỏi, thực hiện Ví dụ 1, 2, 3 và Bài tập 3.28
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi trong SGK.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
Ôn tập lí thuyết và làm Ví dụ, bài
- GV gợi ý, hướng dẫn cho HS thực tập
hiện Ví dụ 1
Ví dụ 1: (SGK-tr.63)
Rút gọn biểu thức:
Hướng dẫn giải (SGK-tr.63)

321

√

2

√

2

A= ( √3+1 ) − 3 ( √ 3+1 ) + √ 4

• Sử dụng hằng đẳng thức √ A 2=| A| và
phép khai căn của một tích.
• √ ( √ 3+1 )2=|√3+1|=√ 3+1
• √ 3 ( √3+ 1 )2=√ 3 .|√3+1|
¿ √ 3 . ( √3+1 )
• √ 4=2
=> A=√ 3+ 1−√ 3 ( √ 3+ 1 )+ 2
=> A=0
- GV gợi ý các bước thực hiện cho HS
thực hiện Ví dụ 2
√x + √x
Cho biểu thức P=
với
√ x+1 √ x−1
x ≥ 0 và x ≠ 1
a) Rút gọn P
b) Sử dụng kết quả câu a, tính giá trị
của P khi x=101.
+ GV gợi ý:
• Tìm mẫu thức chung của biểu thức P
• Thực hiện quy đồng các phân thức
và rút gọn P
• Thay x=101 vào biểu thức rút gọn P
và tính giá trị của P.
+ GV mời 1 HS lên bảng thực hiện lời
giải, các HS khác quan sát và cho ý
kiến nhận xét.
+ GV lưu ý kinh nghiệm làm bài và
chốt lại đáp án.
- GV tổ chức cho HS hoạt động nhóm
đôi để thảo luận cách làm Ví dụ 3
Người ta cần làm một thùng hình lập
phương bằng bìa cứng không có nắp
trên và có thể tích 216 dm3 để đựng
đồ. Tính diện tích bìa cứng cần dùng
dề làm thùng đựng đó (coi diện tích
các mép nối là không đáng kể).
+ Sau thảo luận, GV mời một HS lên
bảng trình bày, các HS khác theo dõi
bài làm, nhận xét và góp ý.
+ GV tổng kết bài làm và chốt lại đáp
án.
- GV trình chiếu bài tập 3.28 và tổ
chức cho HS thực hiện ý a và b.
Rút gọn các biểu thức sau:

Ví dụ 2: (SGK-tr.63)
Hướng dẫn giải (SGK-tr.63)

Ví dụ 3: (SGK-tr.63)
Hướng dẫn giải (SGK-tr.63)

322

a)

5+3 √ 5
1
−
√5
√ 5−2

√56
b) ( √ 7−2 ) −√ 63+
√2

√

2

Bài 3.28

5+3 √ 5
1
−
√5
√ 5−2
(
)
√ 5 √ 5+3 −
√ 5+ 2
¿
√5
( √ 5−2 )( √5+2 )
5+2
¿ √ 5+3− √
5−4
¿ √ 5+3− ( √5+ 2 )
¿1
2
√56
b) ( √ 7−2 ) −√ 63+
√2
2.28
¿|√ 7−2|− √9.7+ √
√2
¿ √ 7−2−3 √7 + √ 28
¿−2−2 √ 7+2 √7
¿−2

a)

+ GV cho HS thực hiện cá nhân trong
5 phút, sau đó gọi HS lên bảng làm
bài, các HS khác theo dõi bài làm,
nhận xét và góp ý.
+ GV chốt lại kết quả.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn
√
thành vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên
trao đổi, đóng góp ý kiến và thống
nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu
của GV, chú ý bài làm các bạn và
nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá,
dẫn dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm
+ Nắm cahwcs kĩ năng rút gọn biểu
thức chứa căn bậc hai.
Hoạt động 2: Chữa một số bài tập cuối bài
a) Mục tiêu:
- Luyện tập kĩ năng rút gọn các biểu thức căn thức và vận dụng kiến thức về căn
thức bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế.
b) Nội dung:
- HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời
câu hỏi, thực hiện bài tập 3.29 đến 3.31
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
bài tập 3.29 đến 3.31.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
Chữa một số bài tập cuối bài
- GV tổ chức cho HS thực hiện Bài Bài 3.28
2
2
3.28
( √ 3+ √2 ) + √ ( √ 3− √2 )
√
c)
2
2
( √ 3+ √ 2 ) + √ ( √ 3− √ 2 )
2 √ 12
√
c)
|√ 3+ √ 2|+|√ 3− √2|
2 √ 12
¿
2 √ 4.3

323

√( √2+1 ) −1

√ 3+ √2+ √3−√2
4 √3
√ 50
2
3
+ HS thực hiện cá nhân ý c và d trong ¿ √
4 √3
8 phút.
1
+ Sau đó, GV mời 2 HS lên bảng thực ¿ 2
hiện bài giải.
3
3
( √2+1 ) −1
√
+ GV mời 2 HS khác nhận xét bài làm d)
√ 50
của bạn và GV chốt lại đáp án.
√ 2+1−1
- HS thực hiện nhóm đôi với bạn cùng ¿ 25.2
√
bàn để thực hiên Bài 3.29
2
√
¿
Tính giá trị của biểu thức sau:
5 √2
5 √15
1
−2 √ 245
a) 3 √ 45+
¿
√3
5
√12−√ 4 − √ 21+ √ 7 + √7
Bài tập 3.29
b)
√ 3−1
√ 3+1
5 √ 15
−2 √ 245
a) 3 √ 45+
3−√ 3
√3
+ √ 3 ( 2 √ 3−1 ) + √ 12
c)
1−√ 3
15
¿ 3.3 √ 5+ 5
−2.7 √ 5
√3−1 + √ 2 − 6
3
d)
√2 √ 3−1 √ 6
¿ √ 5 . ( 9+ 5−14 )
+ Các nhóm thực hiện trong 8 – 10 ¿ 0
phút, sau đó GV lấy tinh thần xung
√12−√ 4 √ 21+ √ 7
phong mời 4 HS lên bảng trình bày b) √ 3−1 − √ 3+1 + √ 7
đáp án.
√ 4 ( √ 3−1 ) √ 7 ( √ 3+1 )
+ Những HS còn lại quan sát, nhận ¿ √ 3−1 − √ 3+1 + √ 7
xét và góp ý.
¿ √ 4−√ 7+ √ 7
+ GV lưu ý kinh nghiệm làm bài cho ¿ 2
HS và tổng kết.
3−√ 3
+ √ 3 ( 2 √ 3−1 ) + √ 12
c)
- GV cho HS thảo luận theo bàn để
1−√ 3
thực hiện Bài 3.30
√ 3 ( √ 3−1 ) +6− 3+2 3
¿
√
√
Giả sử lực F của gió khi thổi theo
1−√ 3
phương vuông góc với bề mặt cánh ¿−√ 3+6− √3+ 2 √ 3
buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận ¿ 6
với bình phương tốc độ của gió, hệ số
√3−1 + √ 2 − 6
d)
tỉ lệ là 30. Trong đó, lực F được tính
√ 2 √ 3−1 √ 6
bằng N (Newton) và tốc độ được tính ¿ ( √3−1 ) √ 2 + √ 2 ( √ 3+1 ) −√ 6
2
( √3−1 ) ( √ 3+1 )
bằng m/s.
6−
2+
6+
a) Khi tốc độ của gió là 10 m/s thì lực ¿ √ √ √ √ 2 −√ 6
2
F bằng bao nhiêu Newton?
b) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu ¿ 0
được một áp lực tối đa là 12000 N thì Bài 3.30
2
con thuyền đó có thể đi được trong Từ giả thiết suy ra F=30 v
gió với tốc độ gió tối đa là bao a) Khi vấn tốc gió là v=10(m./s)
=> F=30.102=3000 (N)
nhiêu?
2
+ Các nhóm thực hiện trong 10 phút, b) Theo đề bài, F=30 v ≤12000
2
sau đó GV mời đại diện một số nhóm hay v ≤ 400
d)

3

3

¿

√

324

báo cáo kết quả.
do đó, v ≤ 20 (m/s)
+ Các nhóm còn lại lắng nghe, quan Vì vậy con thuyền đó có thể đi được
sát và góp ý cho bài làm của nhóm trong gió với vận tốc gió tối đa là 20
bạn.
(m/s).
+ GV nhận xét và chốt đáp án.
- GV trình chiếu Bài 3.31 cho HS
thực hiện cá nhân bài tập:
Rút gọn các biểu thức:
a) √3 (−x−1 )3
b) √3 8 x3 −12 x 2 +6 x−1
+ GV mời 2 HS lên bảng trình bày bài
giải.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn Bài 3.31
3
a) √ (−x−1 )3=−x −1
thành vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên b) √3 8 x3 −12 x 2 +6 x−1= √3 ( 2 x−1 )3
trao đổi, đóng góp ý kiến và thống ¿ 2 x−1
nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu
của GV, chú ý bài làm các bạn và
nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá,
dẫn dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm.
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học thông qua một số bài tập.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập GV giao; HS
trả lời các câu hỏi trắc nghiệm.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS về rút gọn căn thức bậc hai và căn bậc
ba.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV cho HS làm câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1. Tính √3 125 a3 ta được
A. −5 a
B. 5 a
C. 15 a
D. 15 a2
Câu 2. Cho A=2 √3 3 và B= √3 25. Chọn khẳng định đúng
A. A> B
B. A< B
C. A=B D. A ≥ B

325

Câu 3. Sau khi rút gọn biểu thức

2
2
+
được phân số tối giản có dạng
7+3 √5 7−3 √ 5

a
với a , b ∈ Z . Khi đó, a+ b có giá trị là:
b

A. 8

(

B. 7

)(

)

C. 14

D. 24

a−√ a
a+2 √ a
+1 :
−1 với a ≥ 0 ; a ≠ 1. Tìm a để P=5
√ a−1
√ a+2
4
5
4
9
A. 5
B. 4
C. 9
D. 4
√ x + √ x−1 + √ x−10
Câu 5. Rút gọn biểu thức A=
với x ≥ 0 ; x ≠ 4
√ x−2 √ x +2 x−4
x
√x
A. x−4
B. 4
C. 2
D.
√x+4

Câu 4. Cho P=

- Đáp án câu hỏi trắc nghiệm
Câu 2
Câu 3
Câu 1
B
B
A
Bài tập:
1. Thực hiện phép tính: √ ( √ 5−2 )2 +2−3 √ 5
2 √ x +1 √ x−2 √ x +3
+
+
2. B=
với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9
√ x +3 3−√ x x−9

Câu 4
D

Câu 5
C

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận
nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải
thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận
xét bài trên bảng.
Kết quả:
1. Thực hiện phép tính: √ ( √ 5−2 )2 +2−3 √ 5
√ ( √ 5−2 )2 +2−3 √5=√5−2+2−3 √5=−2 √5
2 √ x +1 √ x−2 √ x +3
+
+
với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9
√ x +3 3−√ x x−9
2 √ x +1 √ x−2 √ x+3
B=
−
+
√ x +3 √ x−3 x−9
( 2 √ x +1 ) ( √ x−3 )− ( √ x−2 )( √ x +3 ) + √ x+ 3
B=
( √ x +3 ) ( √ x−3 )
2 x −5 √ x−3−x−√ x+ 6+ √ x+3
B=
( √ x+3 )( √ x−3 )
( √ x−2 ) ( √ x−3 ) √ x−2
x−5 √ x+6
B=
=
=
( √ x+3 )( √ x−3 ) ( √ x +3 ) ( √ x−3 ) √ x+ 3

2. B=

Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
- GV chú ý cho HS các lỗi sai hay mắc phải khi thực hiện giải bài tập.
D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

326

a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng thực tế để nắm vững kiến thức.
- HS thấy sự gần gũi toán học trong cuộc sống, vận dụng kiến thức vào thực tế,
rèn luyện tư duy toán học qua việc giải quyết vấn đề toán học
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức để trao đổi và thảo luận
hoàn thành các bài toán theo yêu cầu của GV.
c) Sản phẩm: HS hoàn thành các bài tập được giao.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập GV giao:
Bài tập:

√ x +3
√x − 4 √ x
Cho hai biểu thức A=
và B=
với x ≥ 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 9
√ x−1
√ x−3 x−9
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x=25
2. Rút gọn biểu thức P= A . B
3. Tìm các số tự nhiên x để P nhận giá trị âm.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV mời đại diện một vài HS trình bày miệng.
Kết quả:
√ x +3
√x − 4 √ x
Cho hai biểu thức A=
và B=
với x ≥ 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 9
√ x−1
√ x−3 x−9
1. Thay x=25 (tmđk) vào biểu thức A , ta được:
25+3 5+3
A= √
=
=2
√25−1 5−1
Vậy A=2 khi x=25
2. Với x ≥ 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 9, ta có:
√ x+3 . √ x − 4 √ x
P= A . B=
√ x−1 √ x−3 x−9
x+ 3 √ x ( √ x +3 ) −4 √ x
P= √
.
√ x−1 ( √ x−3 ) ( √ x+3 )
x−√ x
√ x+ 3 .
P=
√ x−1 ( √ x−3 )( √ x +3 )
x+ 3
√ x ( √ x−1 )
P= √
.
√ x−1 ( √ x−3 )( √ x +3 )
x
P= √
√ x−3
√x
Vậy P=
√ x−3
√x <0
3. Để P<0 thì
√ x−3
x≠0
x≠0
Ta thấy √ x ≥ 0 nên √x −3<0 hay x <9
√
Kết hợp điều kiện, ta được: 0< x <9 hay x ∈ { 2 ; 3; 4 ;5 ; 6 ; 7 ; 8 }

(

)

{

{

327

Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét, đánh giá khả năng vận dụng làm bài tập, chuẩn kiến thức và lưu
ý thái độ tích cực khi tham gia hoạt động và lưu ý lại một lần nữa các lỗi sai hay
mắc phải cho lớp.
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Ghi nhớ kiến thức trong bài.
- Hoàn thành bài tập trong SBT.
- Chuẩn bị bài sau “Bài tập cuối chương III”